构造

四年前的洛谷题解区全是答辩，没有一篇能看的！！！

有 $0$ 个石墩

可以过 $m+1$ 只青蛙（占用 $0$ 石墩）。

有 $1$ 个石墩

在石墩上叠 $m+1$ 只青蛙（占用 $1$ 石墩）。

转化到 $0$ 个石墩的情况。

有 $2$ 个石墩

先在一个石墩上叠 $m+1$ 只青蛙（占用 $1$ 石墩），然后在另一个石墩上叠 $m+1$ 只青蛙（占用 $1$ 石墩，共占用 $2$ 石墩），然后让第一个石墩上的青蛙跳到第二个石墩的青蛙背上（占用 $1$ 石墩），现在第二个石墩有 $2m+2$ 只青蛙。

转化到 $1$ 个石墩的情况。

有 $3$ 个石墩

先在一个石墩上叠 $m+1$ 只青蛙（占用 $1$ 石墩），然后在另一个石墩上叠 $m+1$ 只青蛙（占用 $1$ 石墩，共占用 $2$ 石墩） ，然后合并两个石墩上的青蛙得到一叠 $2m+2$ 只青蛙（占用 $1$ 石墩）；然后在两个空石墩上各叠 $m+1$ 只青蛙（共占用 $3$ 石墩），接下来合并两个有 $m+1$ 只青蛙的石墩得到两个有 $2m+2$ 只青蛙的石墩（共占用 $2$ 石墩）。

把先得到的 $2m+2$ 只青蛙的石墩分解成两个 $m+1$ 只青蛙的石墩，然后可以跳到后得到的 $2m+2$ 只青蛙的石墩上。

现在第三个石墩有 $4m+4$ 只青蛙。

转化到 $2$ 个石墩的情况。

归纳

悲惨的事实是，我没有能力证明这个构造是最优的，但我至少可以把得到答案的过程写明白，算是补上了前人的坑。

在 $n$ 个石墩的情况转化到 $n-1$ 个石墩的情况前，石墩 $n$ 上可以叠 $2^{n-1} \times (m+1)$ 只青蛙。

$\sum\limits_{i=1}^{n} 2^{i-1}(m+1) +(m+1)= (\sum\limits_{i=0}^{n-1} 2^i + 1)(m+1) = 2^n (m+1)$