洛谷 P12037 题解

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在阅读本题解之前，请确保你已经对定积分有所了解。

简要题意：给定多项式 $P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots a_n x^n$，求 $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{P(x)}{x^2 + 1} dx$ 的值。

我们令积分的值为 $I$，则有：

$$ I = \int_0^1 \dfrac{\sum \limits_{k = 0}^n a_k x^k}{x^2 + 1} dx = \int_0^1 \sum \limits_{k = 0}^{n} \dfrac{a_k x^k}{x^2 + 1} $$

我们知道，定积分有加法法则：

$$ \int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx $$

因此，我们可以将积分拆解为：

$$ I = \sum \limits_{k = 0}^{n} \int_0^1 \dfrac{a_k x^k}{x^2 + 1} dx $$

又因为 $a_i$ 是给定常数，所以我们可以将 $a_i$ 提出来，得到：

$$ I = \sum \limits_{k = 0}^{n} a_k \int_0^1 \dfrac{x^k}{x^2 + 1} dx = \sum \limits_{k = 0}^{n} a_k I_k $$

其中 $I_k = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^k}{x^2 + 1} dx$。此时，问题转化为如何计算 $I_k$。

当 $k = 0$ 时，积分简化为标准积分，有：

$$ I_0 = \int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) \Big|_0^1 = \dfrac{\pi}{4} $$

当 $k = 1$ 时，有：

$$ I_1 = \int_0^1 \dfrac{x}{x^2 + 1} dx = \dfrac{1}{2} \ln (x^2 + 1) \Big|_0^1 = \dfrac{\ln 2}{2} $$

对于 $k \ge 2$，我们需要找到 $I_k$ 与 $I_{k - 2}$ 之间的关系。我们将分子 $x^k$ 拆成 $x^{k - 2} \cdot x^2$，并利用恒等式 $x^2 = (x^2 + 1) - 1$，则有：

$$ \begin{align*} I_k & = \int_0^1 \dfrac{x^k}{x^2 + 1} dx \\ & = \int_0^1 \dfrac{x^{k - 2} \cdot x^2}{x^2 + 1} dx \\ & = \int_0^1 x^{k - 2} \cdot \dfrac{x^2}{x^2 + 1} dx \\ & = \int_0^1 x^{k - 2} \cdot \dfrac{(x^2 + 1) - 1}{x^2 + 1} dx \\ & = \int_0^1 x^{k - 2} \cdot \left ( 1 - \dfrac{1}{x^2 + 1} \right ) dx \\ & = \int_0^1 \left ( x^{k - 2} - \dfrac{x^{k - 2}}{x^2 + 1} \right ) dx \\ & = \int_0^1 x^{k - 2} dx - \int_0^1 \dfrac{x^{k - 2}}{x^2 + 1} dx \\ \end{align*} $$

此时发现，第一项已经可以直接求出积分的值了，第二项其实就是 $I_{k - 2}$，因此我们得到了递推式：

$$ I_k = \dfrac{1}{k - 1} - I_{k - 2} $$

问题也就迎刃而解了。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n, a[N];
double i[N], ans;

int main() {
    cin >> n;
    for (int k = 0; k <= n; ++k) cin >> a[k];
    i[0] = M_PI / 4.0, i[1] = 0.5 * log(2);
    for (int k = 2; k <= n; ++k) i[k] = 1.0 / (k - 1) - i[k - 2];
    for (int k = 0; k <= n; ++k) ans += a[k] * i[k];
    cout << setprecision(10) << ans << '\n';
    return 0;
}